PERMUTAÇÕES SIMPLES

Olá Galera,

Estamos quase chegando nas férias e antes da nossa merecida pausa vamos dar mais um passo no estudo de Análise Combinatória. 

Imagine que você tenha esquecido uma senha de três dígitos diferentes formada pelos números 2, 5 e 8 não necessariamente nessa ordem, qual seria o número maximo de tentativas que você terá que fazer até descobrir a senha?

Vamos listar todas as possíveis senhas: (258); (285); (528); (582); (825); (852)

Ou seja, teremos no máximo 6 possíveis senhas diferentes.

Agora imagine uma situação parecida porém a sua senha é composta por 6 dígitos distintos.

Nossa!!! Será uma tarefa árdua listar todas as possíveis senhas.

Como faremos isso???

É simples. Veja abaixo:

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Calcular o número de Permutações Simples de um conjunto com "n" elementos distintos é determinar de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses elementos em sequência.

Se tormarmos um conjunto com "n" elementos distintos então teremos "n" possibilidades de escolha do primeiro elemento. Para o segundo elemneto teremos "n-1" possibilidades de escolhas uma vez que o primeiro elemento escolhido não poderá se repetir. Para a terceira escolha teremos "n-2" possibilidades pois ja foram escolhidos 2 elementos, e assim sucessivamente.

Podemos definir Permutação de "n" elementos como:

P(n) = n . (n-1) . (n-2) . ... . 2 .1 = n!

 

Então agora ficou fácil para você resolver o problema citado anteriormente.

Se a senha possui seis dígitos distintos entao basta efetuar a permutação de seis elementos.

P6 = 6! = 6 .5 .4. 3. 2. 1 = 720 possibilidades de senha.

De fato seria uma tarefa bem difícil listar todas essas possíveis senhas.

Obs.: Permutação significa mudar completamente, modificar, trocar,...


CAIU NO ENEM

ENEM 2010 - Questão 173 – Prova Amarela.

João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.

Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de

a) 60 min.    

b) 90 min.    

c) 120 min.   

d) 180 min.    

e) 360 min.   

Resolução:

Amigos, o enunciado afirma que joão percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo.

Uma vez que ele sempre começa e termina em A, só necessário permutar as outras 5 cidades que restam para saber o total de sequência diferentes.

A quantidade de sequências será dada por P5 = 5! = 5.4.3.2.1= 120 sequências.

Porém é preciso descartar as sequências simetricas pois possuem o mesmo custo, logo teriamos que analisar 120/2 = 60 sequências.

O tempo necessario será de 60 . 1,5 minutos = 90 minutos.

Portanto gabarito é letra B.

Veja no vídeo abaixo onde resolvi a questão pelo Princípio Multiplicativo.

 

 

CAIU NO ENEM

ENEM 2011 - Questão 174 – Prova Azul.

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

A) 24.

B) 31.

C) 32.

D) 88.

E) 89.

Resolução:

Vamos separar o problema em partes pois precisamos saber quantos números formados pelos algarismos 1,3,5,7 e 9 virão antes do número 75.913.

→ Números que iniciam com 1:

→ Números que iniciam com 3:

→ Números que iniciam com 5:

É claro que você poderia ter feito apenas a primeira conta e multiplicado por 3: 24x3 = 72 números.

Agora precisamos tomar cuidado com os números que iniciam com 7. Vamos trabalhar primeioramente os que iniciam com 71 e depois 73.

Ainda teremos os números que Inciam com 75. Vamos lista-los em ordem crescente:

75139; 75193; 75319; 75391; 75913

Ou seja, mais 5 números e chegamos no número desejado.

Portanto, termos 24+24+24+6+6+5 = 89 números.

Letra E

 

Amigos, não deixem de postar suas dúvidas.

Saudações!

 

 



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