Permutações com repetições

Olá Galera,

Nesse retorno das férias vamos dar sequência ao nosso estudo de Análise Combinatória. O nosso tema de hoje será as Permutações com Repetições. Tem que admitir que esse não é um tema frequente no ENEM porém uma vez que estamos estudando Análise Combinatória não podemos deixar esse tema de lado. Na grande maioria dos Vestibulares do Brasil esse é um tema muito frequente.

Permutação com repetição:

Se num grupo com n elementos e resolvermos descobrir de quantas maneiras distintas podemos ordenar esses elementos então precisamos calcular o total de PERMUTAÇÕES desses n elementos. Isso nós já aprendemos na aula passada.

Nosso foco agora será nos problemas de Permutações onde alguns desses n elementos são repetidos.

Por exemplo, quantos são os anagramas da palavra "AMAR" ?

Primeiramente você precisa saber o que é um Anagrama: Um anagrama (do grego ana = "voltar" ou "repetir" + graphein = "escrever") é uma espécie de jogo de palavras, resultando do rearranjo das letras de uma palavra ou frase para produzir outras palavras, utilizando todas as letras originais exatamente uma vez. Um exemplo conhecido é o nome da personagem Iracema, claro anagrama de América, no romance de José de Alencar. Fonte: wikipedia

Agora sim podemos listar todos os Anagramas da palavra AMAR. Irei fazer uma simples trocas das letras:

1° - Iniciando com a letra A: AMAR; AMRA; ARMA; ARAM; AAMR; AARM;

2° - Iniciando com a letra M: MARA; MAAR; MRAA

3° - Iniciando com a letra R: RAMA; RAAM; RMAA

Ou seja, se você contar todos esses anagramas irá verificar que teremos um total de 12. Veja que se trocar apenas as duas letras A de posição o anagrama nao será alterado.

Será que esse é o melhor caminho? E se palavra usada primariamente tiver mais letras?

Acho que ficaria bem complicado de listar na hora da prova todos os anagramas da palavra ARARAQUARA, por exemplo.

Para isso teremos a fórmula que simplifica todos esse processo:

Onde Pn é o número de permutações de n elementos, dos quais n1 é a repetição do um tipo 1, n2 é a repetição do um tipo 2,... , nk é a repetição do um tipo k.

Vamos tentar ententeder melhos essa fórmula na palavra AMAR

n = 4 elementos (letras)

n1 = 2 elementos (a letra A se repete 2 vezes)

Então teremos

Perderemos muito menos tempo utilizando a fórmula caso a quantidade n de elementos seja um valor muito elevado.

 

Agora vamos ver essa questão do vestibular da UERJ:

Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.

Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:

(A) 20

(B) 15

(C) 12

(D) 10

 

Resolução:

Vamos chamara de H cada lado horizontal do triângulo da figura e de D cada lado do triângulo em diagonal.
A formiga saindo do ponto A e indo ao ponto B, andando sobre os lados desses triângulos e percorrendo sempre o menor caminho, é necessário realizar um percurso total de quatro lados na horizontal e dois lados na diagonal, ou seja, 4H e 2D.

O número de caminhos diferententes será a quantidade de sequências distintas que podemos fazer com HHHHDD. Extamente como fizemos no problema dos anagramas acima.

Por exemplo, HDHHHD é um caminhos que a formiga poderia realizar.

Utilizando a fórmula, podemos determinar o número de sequências distintas formadas com as 6 letras.

 

Vamos com tudo galera!!!

Saudações.

 
 
 


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