O que é fatorial?

Olá Galera,

Na aula passada nós aprendemos algumas técnicas básicas de contagem. Hoje vamos continuar falando de análise combinatória... Na verdade vamos falar de uma ferramenta que será muito importante para as próximas aulas de matemática aqui no SOU + ENEM.  Vamos falar sobre FATORIAL.

Você sabe o que é Fatorial???

FATORIAL: n!

Na matemática, o fatorial de um númeronatural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.

Ou seja, n!= n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1


Por exemplo, 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Fácil, não é?

Aposto que você está se perguntando: "como vou usar isso?"

Bem, vamos usar os conceitos que aprendemos na aula passada no seguinte exemplo:

→ Michele vai ao cinema com seus cinco filhos e quando vai vai escolher os lugares é informada que só restam exatamente seis lugares disponíveis. De quantas maneiras diferentes Michele e seus cinco filhos podem se organizar nesses seis lugares disponíveis?

Pense comigo. Quando a primeira das seis pessoas vai escolher o seu lugar ela terá 6 lugares a disposição.

Por outro lado quando a segunda pessoa for escolher ela só terá 5 lugares disponíveis uma vez que um daqueles seis já está ocupado. 

A terceira pessoa só terá 4 lugares para escolher já que dois já estarão ocupados.

e assim sucessivamente.

Usando o Princípio Multiplicativo: 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 possibilidades de escolhas ou simplesmente 6! (seis fatorial).

Quando a quantidade de elementos do conjunto é um níumero razoavelmente pequeno é fácil calcular. Agora imagine se ao invés de 6 pessoas a pergunta fosse:

De quantas maneiras diferentes 120 pessoas poderiam se organizar e se sentar em 120 lugares disponíveis num cinema?

Não tem mistério. Usando o mesmo raciocínio a resposta seria 120! (cento e vinte fatorial).

 

É muito importante lembrar que você poderá manipular a posição da exclamação (!) e parar a decomposição onde preferiri. Por exemplo 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

Observe que "dentro" do 7! está o 6!, Assim como o 5!, o 4! e por aí vai. poderíamos reescrever 7! como 7 . 6! ou ainda 7 . 6 . 5!. Sempre de acordo com a necessidade de simplificação do problema.

Veja o exemplo: Calcule o valor de 2013! / 2011!

Seria impossível calcular na hora da prova o valor de 2013! mas basta perceber que 2013! = 2013 . 2012 . 2011!


Agora vamos resolver este outro problema:

 

Vale lembrar que:

1! = 1

0! = 1

Seguem as demonstrações:

 

Fiquem ligados nas próximas aulas... Falaremos mais sobre Análise Combinatória.

Saudações!

 




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