SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Olá Galera,

Muitos tem me perguntado sobre questões de PG nas últimas provas do ENEM. De fato o assunto não apareceu nas últimas provas porém é um assunto importante e bastante recorrente em outros Vestibulares. Como está no contúdo programático do MEC acho interessante a gente estudar este assunto.

Hoje vamos falar de uma PG Infinita. Específicamente das PG onde  | q | < 1  e  q ≠ 0 


Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada                                                         

Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente, por exemplo: (4, 2, 1, 1/2, ...)

Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula que aprendemos na aula anterior, encontraremos:

Vamos então calcular a soma da PG do exemplo acima: (4, 2, 1, 1/2, ...)

Você consegue resolvcer apenas somando estes valores:

4+2+1+1/2 =7,5

Se continuarmos somando mais termos dessa PG teremos:

7,5 + 1/4 = 7,75

7,75 + 1/8 = 7,875

7,875 + 1/16 = 7,9375

.......

Ou seja, se aproxima cada vez mais de 8. Tende a ser 8

Porém, podemos facilitar tudo isso se aplicarmos a fórmula citada anteriormente:

Sn = a1 / (1- q)

Sn = 4 / (1- 1/2)

Sn = 4 / (1/2)

Sn = 8


Tente agora resolver a seguinte questão:

Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m sobre uma superfície plana, observa-se que, devido a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera apenas 3/8 da altura anterior. Admitindo-se que o deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo?

a) 6 m

b) 11 m  

c) 15 m 

d) 18 m  

e) 19 m


Resolução:

Observe que precisamos efetuar a seguinte soma:

5 + 15/8 + 15/8 + 45/64 + 45/64 + 135/512 + 135/512 +...

Vale lembrar que a bolinha sobe e desce por isso somamos duas vezes a mesma altura.

5 , (30/8 , 90/64 , 270/512 , ...)

A partir de 30/8 teremos uma PG infinita.

Basta efetuar: 5 + (30/8 + 90/64 + 270/512 + ...)

Sn = a1 / (1- q)

Sn = (30/8) / (1- 3/8)

Sn = (30/8) / (5/8)

Sn = (30/8) . (8/5) = 6

Portanto, 5+6 = 11 m

Gabarito LETRA B

 

Saudações!!!

 

 



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