Gravitação - Newton

A Lei da Gravitação de Newton é a lei da da história da maçã. Newton tentava entender o motivo das coisas cairem na Terra, mas não entendia por que a Lua não caía também. Diz a lenda que quando a mação caiu na sua cabeça ele teve o lampejo: A Lua também cai na Terra. Só que ela tem uma velocidade que a mantém na órbita. Isto é, ficar em órbita é ficar caindo eternamente. Usou o exemplo de um canhão no alto de um morro. Um canhão atira e a bala cai. Se atirar com velocidade maior, cai mais longe. Assim, vai chegar em uma velocidade tal que, quando começar a cair, alcança a curvatura da Terra, mantendo a altura de lançamento.

 

Newton concluiu que todas as coisas do universo se atraem mutuamente. E estruturoua fórmula de interação entre as massas.

A força de atração gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto das massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

O valor da constante gravitacional G (encontrado por Cavendish, bem depois) é

G=6,67x10-11Nm2/kg2

Observações:

Para órbitas praticamente circulares a força peso faz o papel de força centrípeta;

A força peso é igual a força de atração gravitacional;

A Lei dos períodos de Kepler pode ser deduzida a partir da Lei da Gravitação de Newton

A velocidade orbital é a velocidade que o satélite deve possuir para conseguir órbita o planeta. É a velocidade com que o canhão deveria disparar a bala para poder entrar em órbita na situação imaginada por Newton. Pode ser calculada assim:

A velocidade de escape é mínima velocidade que o corpo deve possuir para conseguir escapar do campo gravitacional do planeta.

 Para calcular a velocidade orbital é necessário conhecer a energia potencial gravitacional de um planeta. No infinito a energia  potencial gravitacional é nula, então na superfície é considerada negativa. Assim conservando a energia e supondo que no infinito a velocidade seja nula tem-se que:

Marés

As marés correspondem as elevações e rebaixamentos do nível dos mares devido a atração gravitacional entre a Terra e a Lua, entre a Terra e o Sol e da contribuição do efeito centrífugo de translação da Terra. A influência da Lua é mais significativa para o efeito das marés.

Suponha a Terra uma esfera perfeita com água ao seu redor.

Com a Lua provocando atração gravitacional os mares são “puxados”, como ilustra o diagrama seguinte, fora de escala (e muito exagerado).

A Lua leva cerca de 28 dias para completar uma volta em torno da Terra. Enquanto a Terra gira em 24h, a Lua pouco se move. Assim, uma pessoa na Terra passará por duas regiões de maré alta e duas regiões de maré baixa em um dia. A cada 6h há uma mudança de maré.

Embora a contribuição do Sol para o efeito seja menor, na fase de lua nova o efeito das marés é mais sensível.

 

Exercício resolvido 1

            Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento,

a) o período depende de sua massa.

b) a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento.

c) o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita.

d) a energia mecânica total deve ser positiva.

e) a energia cinética é máxima no perigeu.

Solução:

 a) O período de órbita de um satélite depende da massa do planeta e não da massa do satélite.

              

b) A relação é ao contrario: quadrado do período é proporcional ao cubo do raio médio.

c) A velocidade areolar é constante. A velocidade linear varia (em módulo, direção e sentido).

d) A energia mecânica é a soma da cinética com a potencial, contudo a energia potencial pode ser negativa, assim dependerá do saldo entre as duas.

e) Perigeu [peri + geo = posição em torno + Terra] é o ponto de proximidade da Terra) contrário à apogeu [apo + geo = afastado da Terra]. No ponto de órbita mais próximo a velocidade é maior, assim a energia cinética é máxima.

Letra E.

 

Exercício resolvido 2

Estima-se que o planeta Urano possua massa 14,4 vezes maior que a da Terra e que sua aceleração gravitacional na linha do equador seja 0,9 g, em que g é a aceleração gravitacional na linha do equador da Terra. Sendo RU e RT os raios nas linhas do equador de Urano e da Terra, respectivamente, e desprezando os efeitos da rotação dos planetas, RU / RT é

a) 1,25.

b) 2,5.

c) 4.

d) 9.

e) 16.

 

Solução:

A aceleração gravitacional de um planeta é dada por :

e o enunciado diz que a aceleração da gravidade de Urano é 0,9 da aceleração da gravidade na Terra.

Mas a massa de Urano é 14,4 vezes a massa da Terra.

Fazendo a raiz quadrada dos dois lados.

Letra C

 

Como é o campo gravitacional no interior da Terra?

A Terra tem raio R na superfície e massa M no total. Vamos pensar na gravidade em um ponto distante r do centro da Terra. No ponto r podemos imaginar uma esfera de massa m em seu interior.

A gravidade vai ser dada por:

Supondo que a Terra tenha uma densidade constante,podemos dizer que:

Substituido a massa na fórmula anterior.

Substituindo o volume da esfera:

Simplificando o r.

A densidade, o pi, o G e os números são constantes, assim é possivel substitui-los por uma constante k.

A gravidade no interiro da Terra é proporcional à distância r até o centro.

Agora magine uma situação interessante.

Foi construído um túnel entre os dois polos da Terra. Uma pessoa cai pelo túnel sem nenhum tipo de atrito. O que acontecerá?

No interior da Terra a aceleração da gravidade é algo do tipo kr ou kx. Essa relação diz que o peso do objeto dentro da Terra funcionará como uma força elástica.

Quando a pessoa se largar de beirada será acelerada com o maior valor possível para g, mas à medida que se aproxima do centro a gravidade diminui (até zeno no centro). Mas à medida que a aceleração da gravidade diminui, a velocidade aumenta. Após passar pelo centro a situação se inverte. A gravidade vai aumentar, mas a velocidade vai diminuir.

A pessoa ficará como uma massa pendurada em uma mola !!!!

Subindo e descendo eternamente.

Divertido?

Bom estudo.

 



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